基礎：成分と列
ベクトル $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$ はその成分によって定義されます。$v_1$ は第1成分（通常は水平方向の変位）、$v_2$ は第2成分（垂直方向）です。この縦向きの表現は単なる美学的選択ではなく、現代の計算を定義する行列-ベクトル乗算の前提条件です。
スカラとは単純に数値のことです。$2v$ を計算する際には、すべての成分に2を掛けます：$2 \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2v_1 \\ 2v_2 \end{bmatrix}$。負のスカラ（例：$-1$）はベクトルの方向を逆転させます。
ベクトルの加算は成分ごとに行われます：$v + w = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{bmatrix}$。幾何学的には、「先端から尾」の法則に従い、一つのベクトルの先端に次のベクトルの尾をつなげると、和が得られます。
線形結合：$cv + dw$
これは線形代数における最も重要な構成です。基底ベクトルをスケーリングして足し合わせることで、空間内の任意の点に到達できる能力を表します。たとえば：
$$c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + 2d \\ c + 3d \end{bmatrix}$$
$c=1$ かつ $d=1$ とすると、和 $v + w = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ が得られます。$c=0$ かつ $d=0$ とすると、 ゼロベクトル: $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ となります。ここで注意すべきは、ベクトル $\mathbf{0}$ とスカラ $0$ は異なるものであり、座標系の原点であるということです。